高等数学

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蔡高厅高等数学 03的笔记

相关课时: 笔记详情:

一、函数的有界以性

  1. 函数的上下界:若存在M(不局限于正数),(st)使得f(x)≤ M,(0到正无穷)x∈I,则称函数f(x)在区间I 上有上界。  任何一个数N>M ,N也是f(x)的上界。下界就反过来写。 反写的A=对于

2、上下界的关系:若f(x)在区间I上有界<=>f(x)在I上既有下界又有上界!

证​明:假设f(x)在I上有界,根据定义存在M>0,st |f(x)|≤M<=>-M≤f(x)≤M    因此f(x)有下界-M,也有上界M(对于x∈I). 因此,f(x)有下界-M,也有上界M(对于x∈I).

设f(x)在I上既有下界m,也有上界N m≤f(x)≤N  ( 二种情况) ①如果m=N=0 =>f(x)≡0,对于x∈I f(x)在I上有界。②如果m,N不同时为0,取 

  M=max{|m|,|N|}>0

-M≤-|m|≤m≤f(x)≤N≤|N|≤M

   即 -M≤f(x)≤M

   |f(x)|≤M  对于x∈I成立

 ∴f(x)在区间I上有界。

二、函数的单调性

若函数f(x)在区间I上,对任何x1、x2∈I,且x1<x2,恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间I上是严格单调增的。若x1<x2,恒有f(x1)≤f(x2),则称f(x)在I上广义单调增(单调增、非减的)。

若x1<x2,恒有f(x1)>f(x2),则称f(x)在I上严格单调减。类似地有广义单调减(单调减非增的)

例如:y=x2 Df=( -∝, ∝)

在(0,+ ∝)上,y=x2严格单调增的。在( -∝,0)上是严格单调减。

取整函数:y=[x]   这是表示方法

y=-1   [-1≤x<0]

    0     [0≤x<1]

    .....它是广义的单增

三、函数的奇偶性

若f(x)在关于原点对称区间I上满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为偶函数;满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数。它是用等式来描述的,不同于一、二两个性质,一、二是用不等式描述的。

偶函数图形关于y轴对称;奇函数关于原点对称。

四、周期函数

设f(x)的定义域Df,如果存在非零常数T,st对任意的x∈Df,有(x±T)∈Df,且f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T为周期。

  总结:这四个性质,前二个是用不等式来描述的,后两个是用等式来描述的。

五、复合函数、反函数

 1、复合函数

  设y=√U ,U=1-x^

    把u=1-x^代入y=√u中,得到 y=√(1-x^),称为,由y=√u与u=1-x^复合而成的复合函数 。

一般定义:

设y=f(u)是数集Y上的函数(Y是y=f(u)的定义域),u=Φ(x)的定义域为X,值域YΦ。而且YΦ≠φ,YΦ⊆Y,这时对于x∈X,通过u都有唯一的y值与之对应。  从而在数集X上产生一个新函数,用f.φ表示,称f.φ为X上的复合函数

  x→y(f.φ),或y=[φ(x)] 

注:复合函数的定义域与非复合函数的定义域是不同的。

一般y=[ φ(x)]的定义域:由u= φ(x)的定义域中使函数u= φ(x)的值域Yφ满足Yφ⊆Y的那一部分实数组成。

 

 

   

 

 

 

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