计算机科学及编程导论(麻省理工)

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二分法,牛顿,拉复生方法,对于数组的简介的笔记

相关课时: 笔记详情:

Lecture 6: Bisection methods, Newton/Raphson, Introduction to lists.

 

本课内容简单明晰,前半部分介绍了牛顿法,举了牛顿法求平方根的例子,然后将其与二分法进行比较。后半部分简单介绍了一些列表的基本操作,主要包括增加和删减列表项。

 

上节课举的求平方根的例子里面,出现了一个bug而导致程序的崩溃。这也是上节课最后留下的思考题。这个bug是这样的:若所求数x在0-1之间,SquareRootBi(x)会出现错误。最根本的原因在于x的平方根已经超过了原定的上界x。

举个最简单的例子:SquareRootBi(0.25),在原来的二分法程序中,上界是high = x = 0.25,但是我们知道0.25的平方根是0.5,而0.5大于0.25,那么原定上界是错误的。因此,修改这个程序的关键之处就在于修改上界high。这里只需要比较x和1的大小即可。当x>1时,平方根上界为x,当x<1时平方根上界则为1。那么在Python中一个简单的high = max(x, 1)就可以实现了。

这个例子就给了我们一些警示,即在使用二分法时需要注意以下两点:

  • 边界非常重要,在解题时需要慎重考虑边界的选择。
  • 在选择边界时往往需要分类讨论,这时比较max的用法和if-else的用法就尤为重要。

 (注意:二分法是非常经典和常用的方法,但仍然存在一些缺陷,如上面所提到的bug。那么在使用二分法之前,需要仔细考虑各种情况,划定边界值,以防止程序崩溃。)

 

本课后半部分简单介绍了牛顿法(Newton's method)。与二分法相比,牛顿法的优势有以下两点:

  • 减少迭代次数
  • 提高运算效率
  • 运算庞大数据时,牛顿法的优势最为显著

最直观的比较就是在求平方根的运算中,牛顿法的收敛速度(speed of convergence)要比二分法快很多。换句话说,牛顿法做的迭代次数(iteraction times)要比二分法少很多。那么假设在相同时间内做的迭代次数是一样的,牛顿法就比二分法所化的运算时间要少很多。可以说,输入数据越大,运算效率差就越大。牛顿法是编程中的最优化算法之一。

(注意:这里使用的是牛顿切线法,具体定义可参考百度百科)

 

根据百度百科,牛顿切线法是由开方公式引出的:

        X(n+1) = Xn + (A / X^(k-1) - Xn)(1 / k)       (n,n+1表示下角标,k为指数)

这个公式看上去非常复杂,对于初学者而言只需要记住如下结构即可:

  • A = f(guess)
  • B = fd(guess)    # B为A的导数表达式
  • diff = A - x    # x为输入值/精确值
  • guess = guess - diff / B

根据这个结构我们就可以轻松构建出一个开平方函数了(注意:这个函数和本课例举的函数有细微差别),程序如下:

def f(guess):

    return guess ** 2

def fd(guess):

    return 2 * guess

def SquareRootNR(x, epsilon):

    guess = x / 2.0

    diff = f(guess) - x

    ctr = 1

    while abs(diff) > epsilon and ctr <= 100:

         guess = guess - diff / fd(guess)

         diff = f(guess) - x

         ctr += 1

    return guess

(注意:guess的值非常重要,因为某些guess的值会导致程序崩溃,即切线和x轴没有任何交点。所以在输入initial guess的值的时候需要注意避免这些值。)

 

后半部分简要介绍了列表(List)的基本用法,List是一个非常灵活和强大的工具,可以进行许多神奇的操作。这个会在以后讲到类(Class)和方法(Method)的时候提到。由于本人对于列表的应用进行了较多遍,这里就不重复记录列表的基本用法了。对于初学者来说,可以去参考一下Python基础教程(第二版)中List的应用,非常有帮助。

 

总结:本课重点为牛顿法,这个并不如二分法那样被人所知。不知道的可以看看这一节课。

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